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【读书心得】以史为鉴,学史明智 ——读《数学史走进小学数学课堂:案例与剖析》有感
编辑:田芳   发布时间:2018-08-23 11:14:05   浏览人数:65

    蔡宏圣,江苏省启东市教师发展中心小幼教研室主任,正高级教师,小学数学特级教师,江苏省教学名师,长三角基础教育小学数学学科专家。经历了十几年的实践研究,编纂了这本“数学史走进小学数学课堂探索丛书”——《数学史走进小学数学课堂:案例与剖析》。
    成尚荣(国家督学)这样评价:“这是一位小学数学特级教师在实践中、研究后写成的书,问题导向、实践导向十分鲜明,很接地气。这是一位研究人员基于实践并超越实践的理性追索。”
    蔡宏圣从历史出发,观照现在,将现实与数学史相联合,充满深沉的思考;他还在前瞻未来,对小学数学教育充满着美好的想象。
    小学数学教育为什么要关注、研究数学史呢?“历史是教学的指南”。数学史家M. 克莱因说:“历史呈现了知识的来龙去脉,叙说了人类认识如何步入深入,在抽象的过程中我们就能体会和把握认识提升的关键。”如果我们经历了知识的形成、提炼过程,就通晓了学习此项知识的难点所在,古人在历史的长河中学习所遇到的困难就是我们今天的儿童学习所遇到的困难。所以,我们了解数学史是为了更好地教数学。
    课堂教学是一门艺术也是一门科学。蔡宏圣说:“大凡对课堂的追求有两条途径:一种是认识上墨守成规,在工艺上、细节上求精致;另一种是锐意进取,在思路上求突破,可能工艺上有瑕疵,但会给人以启示。”“课堂的美可以是外在的精致美,但四平八稳,老气横秋,在老的框架里守旧;也可以是内在的思想美,新意跌出,清新隽永。”我喜欢第二种美,我们的课堂有了思想,就具备了灵魂。有了史实支撑的教学研究、课堂教学,就会厚重、隽永,味道浓郁。
    一、在历史中甄别儿童的学习障碍
    数学教学中(尤其是计算教学),我们通常会将约定俗成的规则教给学生,如果学生没有按照既定的规则做,我们就不知道对错,学生的一些“新鲜的想法”我们就不确定是否可以,因为没人给我们讲过,也没人告诉过我们规则从何而来,不遵守约定俗成的规则到底算不算错。
    以“负数的认识”为例。负数一般的定义是“小于零的数”。在刚刚接触负数时,很多孩子是不认可的负数的,认为既然没有,为什么还有用“数”来表示呢?在历史上,人们认识负数也经历了漫长的过程,在16——17世纪,绝大多数数学家都不承认负数也是数。人类在数学中理解负数,用了2000年左右。
    帕斯卡:从0减去4纯粹是胡说!
    迪科儿:负数是“不合理的数”。
    弗伦德:只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人才“谈论比没有还小的数”。
    德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中称,从零中减去一个大于零的数得到的数“小于一无所有”,是“荒谬的数”。
    ……
    是什么妨碍了数学家们接受负数呢?
    生活中相反意义的量,一个记作正数,另一个就是负数。
    比起认识自然数、分数,认识负数需要高度的抽象能力。在这之前,大家都知道一个数学常识:0表示没有,是最小的数,而负数却颠覆了这种常识!想一想,这是不是就是我们学生所面临的困惑?之前大家都习惯了0代表没有数。原来,大家一直是把0数作为一个数来对待的,而负数超出了我们对数的认识。所以,只有重新认识0,才能真正理解负数。
    在不同的情境中,“0”表示的意义不同:一种情况下,0表示没有数;第二种情况,0表示开始;第三种情况,0可以作为一个比较的标准。梳理清楚这三种情况,我们就能清楚,“相反意义的量”是通过标准比较出来的,这样就能清楚其实“0”是正负数的分界点,这样就产生了负数。我们课堂教学的重锤该落在哪儿就显而易见了。
    数学家们在表示负数时,曾经用红、黑两种不同颜色的算筹来区别正、负数,后来用是否在数字上面加个点来区别正、负数……
    数学家们的学习经历多么像我们的儿童啊,儿童学习过程中与历史上数学家们曾经遭遇的障碍一样,“历史是教学的指南”,“只有理解人类如何获得某些实施或概念的知识,我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断。”(意大利著名数学家和数学教育家波利亚)
    如果真正了解了历史上人类学习的困难,也就理解了儿童学习的困难。把这些困难想明白了,对数学教育就会有新的感悟。
    二、以史为镜捕捉知识的核心价值
    显性的知识技能,终究会被慢慢淡忘;而隐性的数学活动经验、数学方法思想,更有利于促进素养的形成。所以,我们的数学教学要努力从“双基”走向“四基”。数学思想是对数学知识和数学方法更为精华的概括。
    《圆的面积》一课,重点放在计算方法的掌握还是放在圆的面积的转化,这直接决定了是“双基”课堂,还是“四基课堂”。圆是曲线图形,边是弯的,怎么就变直了呢?学生的困惑,正是人类认识发展的障碍之处。无穷,曾经是古希腊人不可逾越的一道坎。这才是“圆的面积”一课教学的难点。这一点弄透了,教学的问题才能得到解决。所以,教学的重点放在体会“随着分割次数的增加,由‘面’变‘线’,曲自然成直”。这样的教学,数学味就浓郁了。我们可以利用“多媒体”, 把一个圆不断分割就能直观的看到每次分出的一块图形,它的底边会越来越平直。随着分割的份数不断增加,图形越来越趋近于一条线段。在此基础上,组织学生把圆八等分,十六等分后拼出直边图形,观察发现,随着拼剪的分数不断增加,拼出的图形越来越像一个平行四边形。再借助多媒体课件不断细分,充分感知图形的变化趋势,由平行四边形逐渐变成了长方形。如此一来,会在学生头脑中打开一扇窗,发现更奇妙的数学世界。渗透、形成一种思想,比习得一种技能更重要。
    在现实的教学中,一般教师只关注一个知识“是什么”,“怎么办”,很少有意识地去追问“为什么”。几千年来,人类创造的数学知识浩瀚无边,而为什么偏偏是那些知识进入小学数学的课堂呢?虽然数学一直在发展,为什么有些数学的概念和方法,没有被边缘化,一直需要儿童学习呢?答案其实很简单,因为这些数学知识自然、简单而且必要,具有独到的价值。所以,我们需要有宏大的视野,在数学知识的整个体系中去领悟为什么人类要创造这个概念,去琢磨为什么要有这个方法,甚至假设没有这个概念或方法会怎么样。教学中突出了这些,也就把握了知识的价值性,直抵知识的核心之处。
    三、历史的方向就是教学努力的方向
    在各个版本的小学数学教科书里,都是先安排“用字母表示数”,然后再学习“认识方程”。那么古人是不是先认识了字母再创造了方程呢?历史正好是相反的。古人是先创造了方程,然后才总结可以用字母去表示数。方程是为了解决实际问题而产生的,算数的办法也能解决问题,两者的区别在哪里呢?用方程的办法解决问题更为程式化。人类创造方程知识的本源动机是为了能够少动脑筋地解决问题。方程的本质在于表达了未知量和已知量相等的一个事实。对于大多数人来说,方程的思考比算数的思考更直接,更简单。
    比如这样一个问题:停车场开出了5辆车,还有3辆车,停车场原来停着几辆车?几乎所有的小孩儿和大多数成人都会在心里列出这样形式的算式(  )-5=3。想法简单、清晰、明了,能够直接想出这个被减数是几。其实这种写法的本质就是方程。
    我们的教科书中将方程的定义为“含有未知数的等式”。一直以来,大家对这个定义是否合适,争议颇多。我们回溯历史,古人创造方程的目的是为了将已知量和未知量建立一种等量关系,以便更直接地解决实际问题。我们能窥出古人创造方程是为了建立一种等量关系,而非简单的创造一个等式。这个定义的出现不过百多年的历史,而人类运用方程却有四千年之久。这个定义似乎并不能表达方程的全部。
    这样给方程下定义似乎更合适——“方程是为了求未知数,在未知数和已知数之间建立的等式关系。”在小学阶段,儿童学的是教育形态的数学,为了让儿童能够接受,所以有一些定义常常从外在肤浅地描述,没有触及到数学概念的本质。但是作为教师,我们有必要进行深入研究,设计合适的活动,加深学生对数学概念本质的理解。这样才会从本质上丰富学生的素养。
    四、规则从何而来,从历史中寻找答案
    数的运算是小学阶段数学学习的重要内容,不仅知识点众多,而且学习的时间长,呈螺旋式上升。在学习计算的过程中,总会出现很多问题,存在很多争议。比如:
    算乘法时,有的学生在合并两次乘的结果时,多写了加号,这样的竖式到底算对还是错?
    有的学生在计算时,写的竖式和教材上的不一样。有的写成了“一层楼”式的竖式,这样的算对还是错?
    为什么加法、减法、乘法要从低位算起?能不能从高位算起?
    除法竖式能不能像加法、减法、乘法那样写竖式?
    ……
    问题很多,我们有必要到“数学史”中寻找答案。
    以“笔算乘法”为例。早在古埃及纸草书上就记载着一种乘法——倍乘法(1),就是先加倍计算,然后再组合不同的倍数和,完成计算。虽然它不具有现代笔算乘法的形式,但在几千年笔算乘法的历史进程中体现了旺盛的生命力。
      1.png         2.png  
              (1)                         (2)

    1546年德国数学家施蒂费尔的著作中,将32×13=416写成了像图(2)这样的形式。可是这种办法计算相当大的数目时,会很麻烦,而且需要极高的技巧。因此,无法成为数学发展的主流。

                           3.png
                                   (3)

    图(3),欧洲人计算“748×632”,将它分解成了748×6个百、748×4个十、748×8个一,最后把各次计算的结果相加。它注意了相同数位要对齐,把每次计算的乘积相加,与我们现在的乘法形式很接近了,但是这种写法却没有流传下来,原因是繁琐!图中两种算法,一种是从高位算起,一种是从低位算起,从高位算起的弊端显而易见,需要提前置留好空位,对计算能力和耐心、细心程度都有比较高的要求。
    将“748×632”分解成748×6个百、748×4个十、748×8个一,还要注意相同数位要对齐,说明了古人对算理的重视。
                   4.png

                        (4)

    现在,有些国外的小学数学教科书,纸笔列竖式计算中还带有很多“多余”的符合和写法——为什么在我们看来,带有多余符号的不规范写法,它们却写进了教科书里呢?道理在于他们就是这样约定的!
    再来看,这是我们的学生写的同一道题的算式,哪个是错的呢?
              5.png
 
    第②个算式是从高位算起,单从对错的角度考虑,它能算错吗?只是遇到更大的数,数位相对不好控一些。第①个算式出现了+,第①和第③个算式24×10,个位上写了0(但是算理很清楚)。只有第④个算式最简单,也最符合今天我们计算书写的规则。我们国家现在列竖式计算的规则是经历漫长的历史检验总结出来的,只是相对表达的意思更清楚、书写更简单。前三个算式正是人类研究笔算的发展进程,儿童的学习与数学家的研究历程是一致的,不能用简单的对错去评判。
    对比古今中外的整数乘法竖式,我们发现,要计算的题和正确的计算结果之间,实际上有很多条路可以走。从计算思考推导的朴素表达和最终的规范形式之间,实际上是逐步压缩、不断简略,经历了很长的时间!既然如此,我们有什么理由要求学生一下子吞下这样高度压缩的人类思维千年的结晶呢?在笔算教学中,我们可以采用这样的原则:不要把历史选择的结果直接给学生,而是让他们自己来选择。不要否决和杜绝学生试着走其他的路,而是让他们走一点歧路后再慢慢地醒悟,终究会选择现在通用的笔算样式。我们在进行笔算教学时,坚守这样一条原则:在原理性知识上不能错,而在规则性知识上没有对错可言。像初学“多位数的除法”,“一下子找到合适的初商是不容易的,那就让学生们先‘玩’起来,先试商,后面再把所有的商合并又何妨?让多样的顺序慢慢统一,让琐碎的步骤,慢慢压缩,让多余的符号,慢慢擦除,让不同的写法,慢慢规范。”而正是关键地方、关键时候的“慢”,才是教育的精髓。
    走进数学史,犹如打开了一道门,当我们无法定位某一内容教学时,不妨走进历史,数学史会为我们提供整个课程的概貌。学生提出的“历史上的为什么”问题,数学史这条长河会一个一个给出贴切的回答。历史会告诉你,当数学家遇到棘手问题时,同样会有很多错误,对全新的认识他们也会恐惧。
    绝大多数人认为数学的符号名称是不讲道理的冷冰冰的规定,但历史会告诉你,一个数学符号、数学约定战胜了其他符号和其他约定,得到大范围的认可和运用,其原因不过是因为更简单、更方便、更美观……如果我们以历史为向导,那么历史是绝不会让我们误入歧途的。

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